Leysa {l}{x+y=69}{2x+y=81}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 81 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=12$$

$$y=57$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=69,2x+y=81$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=69$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+69$$

Settu -y+69 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=81.

$$2\left(-y+69\right)+y=81$$

Margfaldaðu 2 sinnum -y+69.

$$-2y+138+y=81$$

Leggðu -2y saman við y.

$$-y+138=81$$

Dragðu 138 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-y=-57$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=57$$

Skiptu 57 út fyrir y í x=-y+69. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-57+69$$

Leggðu 69 saman við -57.

$$x=12$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=12,y=57$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=69,2x+y=81$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\81\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-69+81\\2\times 69-81\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\57\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=12,y=57$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=69,2x+y=81$$

Dragðu 2x+y=81 frá x+y=69 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-2x+y-y=69-81$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$x-2x=69-81$$

Leggðu x saman við -2x.

$$-x=69-81$$

Leggðu 69 saman við -81.

$$-x=-12$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=12$$

Skiptu 12 út fyrir x í 2x+y=81. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2\times 12+y=81$$

Margfaldaðu 2 sinnum 12.

$$24+y=81$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=57$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=12,y=57$$