Leysa {l}{x+y=500}{25x+35y=1450}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 500 } \\ { 25 x + 35 y = 1450 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1605$$

$$y=-1105$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=500$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+500$$

Settu -y+500 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 25x+35y=1450.

$$25\left(-y+500\right)+35y=1450$$

Margfaldaðu 25 sinnum -y+500.

$$-25y+12500+35y=1450$$

Leggðu -25y saman við 35y.

$$10y+12500=1450$$

Dragðu 12500 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$10y=-11050$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=-1105$$

Skiptu -1105 út fyrir y í x=-y+500. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\left(-1105\right)+500$$

Margfaldaðu -1 sinnum -1105.

$$x=1105+500$$

Leggðu 500 saman við 1105.

$$x=1605$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1605,y=-1105$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\25&35\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{35-25}&-\frac{1}{35-25}\\-\frac{25}{35-25}&\frac{1}{35-25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{10}\\-\frac{5}{2}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\1450\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 500-\frac{1}{10}\times 1450\\-\frac{5}{2}\times 500+\frac{1}{10}\times 1450\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1605\\-1105\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1605,y=-1105$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=500,25x+35y=1450$$

Til að gera x og 25x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 25 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$25x+25y=25\times 500,25x+35y=1450$$

Einfaldaðu.

$$25x+25y=12500,25x+35y=1450$$

Dragðu 25x+35y=1450 frá 25x+25y=12500 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$25x-25x+25y-35y=12500-1450$$

Leggðu 25x saman við -25x. Liðirnir 25x og -25x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$25y-35y=12500-1450$$

Leggðu 25y saman við -35y.

$$-10y=12500-1450$$

Leggðu 12500 saman við -1450.

$$-10y=11050$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=-1105$$

Skiptu -1105 út fyrir y í 25x+35y=1450. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$25x+35\left(-1105\right)=1450$$

Margfaldaðu 35 sinnum -1105.

$$25x-38675=1450$$

Leggðu 38675 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$25x=40125$$

Deildu báðum hliðum með 25.

$$x=1605$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1605,y=-1105$$