Leysa {l}{x+y=50}{x=9y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 50 } \\ { x = 9 y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=45$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 9y frá báðum hliðum.

$$x-9y=0$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=50,x-9y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=50$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+50$$

Settu -y+50 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-9y=0.

$$-y+50-9y=0$$

Leggðu -y saman við -9y.

$$-10y+50=0$$

Dragðu 50 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-10y=-50$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=-y+50. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-5+50$$

Leggðu 50 saman við -5.

$$x=45$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=45,y=5$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 9y frá báðum hliðum.

$$x-9y=0$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=50,x-9y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\1&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-9-1}&-\frac{1}{-9-1}\\-\frac{1}{-9-1}&\frac{1}{-9-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}\times 50\\\frac{1}{10}\times 50\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=45,y=5$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 9y frá báðum hliðum.

$$x-9y=0$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=50,x-9y=0$$

Dragðu x-9y=0 frá x+y=50 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-x+y+9y=50$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y+9y=50$$

Leggðu y saman við 9y.

$$10y=50$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x-9y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-9\times 5=0$$

Margfaldaðu -9 sinnum 5.

$$x-45=0$$

Leggðu 45 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=45$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=45,y=5$$