Leysa {l}{x+y=50}{-3x+2y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 50 } \\ { - 3 x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=20$$

$$y=30$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=50,-3x+2y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=50$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+50$$

Settu -y+50 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -3x+2y=0.

$$-3\left(-y+50\right)+2y=0$$

Margfaldaðu -3 sinnum -y+50.

$$3y-150+2y=0$$

Leggðu 3y saman við 2y.

$$5y-150=0$$

Leggðu 150 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5y=150$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=30$$

Skiptu 30 út fyrir y í x=-y+50. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-30+50$$

Leggðu 50 saman við -30.

$$x=20$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=20,y=30$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=50,-3x+2y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 50\\\frac{3}{5}\times 50\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\30\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=20,y=30$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=50,-3x+2y=0$$

Til að gera x og -3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-3x-3y=-3\times 50,-3x+2y=0$$

Einfaldaðu.

$$-3x-3y=-150,-3x+2y=0$$

Dragðu -3x+2y=0 frá -3x-3y=-150 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3x+3x-3y-2y=-150$$

Leggðu -3x saman við 3x. Liðirnir -3x og 3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3y-2y=-150$$

Leggðu -3y saman við -2y.

$$-5y=-150$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=30$$

Skiptu 30 út fyrir y í -3x+2y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-3x+2\times 30=0$$

Margfaldaðu 2 sinnum 30.

$$-3x+60=0$$

Dragðu 60 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3x=-60$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=20$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=20,y=30$$