Leysa {l}{x+y=5}{2x+3y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 5 } \\ { 2 x + 3 y = 20 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-5$$

$$y=10$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=5,2x+3y=20$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=5$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+5$$

Settu -y+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+3y=20.

$$2\left(-y+5\right)+3y=20$$

Margfaldaðu 2 sinnum -y+5.

$$-2y+10+3y=20$$

Leggðu -2y saman við 3y.

$$y+10=20$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í x=-y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-10+5$$

Leggðu 5 saman við -10.

$$x=-5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-5,y=10$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=5,2x+3y=20$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 5-20\\-2\times 5+20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-5,y=10$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=5,2x+3y=20$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2y=2\times 5,2x+3y=20$$

Einfaldaðu.

$$2x+2y=10,2x+3y=20$$

Dragðu 2x+3y=20 frá 2x+2y=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+2y-3y=10-20$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y-3y=10-20$$

Leggðu 2y saman við -3y.

$$-y=10-20$$

Leggðu 10 saman við -20.

$$-y=-10$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í 2x+3y=20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+3\times 10=20$$

Margfaldaðu 3 sinnum 10.

$$2x+30=20$$

Dragðu 30 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-5,y=10$$