Leysa {l}{x+y=39}{x+2y=126}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 39 } \\ { x + 2 y = 126 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-48$$

$$y=87$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=39,x+2y=126$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=39$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+39$$

Settu -y+39 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+2y=126.

$$-y+39+2y=126$$

Leggðu -y saman við 2y.

$$y+39=126$$

Dragðu 39 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=87$$

Skiptu 87 út fyrir y í x=-y+39. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-87+39$$

Leggðu 39 saman við -87.

$$x=-48$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-48,y=87$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=39,x+2y=126$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{1}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\126\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 39-126\\-39+126\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-48\\87\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-48,y=87$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=39,x+2y=126$$

Dragðu x+2y=126 frá x+y=39 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-x+y-2y=39-126$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y-2y=39-126$$

Leggðu y saman við -2y.

$$-y=39-126$$

Leggðu 39 saman við -126.

$$-y=-87$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=87$$

Skiptu 87 út fyrir y í x+2y=126. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+2\times 87=126$$

Margfaldaðu 2 sinnum 87.

$$x+174=126$$

Dragðu 174 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-48$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-48,y=87$$