Leysa {l}{x+y=38000}{0.06x+0.15y=4170}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 38000 } \\ { 0.06 x + 0.15 y = 4170 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=17000$$

$$y=21000$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=38000,0.06x+0.15y=4170$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=38000$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+38000$$

Settu -y+38000 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 0.06x+0.15y=4170.

$$0.06\left(-y+38000\right)+0.15y=4170$$

Margfaldaðu 0.06 sinnum -y+38000.

$$-0.06y+2280+0.15y=4170$$

Leggðu -\frac{3y}{50} saman við \frac{3y}{20}.

$$0.09y+2280=4170$$

Dragðu 2280 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.09y=1890$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.09. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=21000$$

Skiptu 21000 út fyrir y í x=-y+38000. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-21000+38000$$

Leggðu 38000 saman við -21000.

$$x=17000$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=17000,y=21000$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=38000,0.06x+0.15y=4170$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.06&0.15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.15}{0.15-0.06}&-\frac{1}{0.15-0.06}\\-\frac{0.06}{0.15-0.06}&\frac{1}{0.15-0.06}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}&-\frac{100}{9}\\-\frac{2}{3}&\frac{100}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38000\\4170\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\times 38000-\frac{100}{9}\times 4170\\-\frac{2}{3}\times 38000+\frac{100}{9}\times 4170\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17000\\21000\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=17000,y=21000$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=38000,0.06x+0.15y=4170$$

Til að gera x og \frac{3x}{50} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 0.06 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$0.06x+0.06y=0.06\times 38000,0.06x+0.15y=4170$$

Einfaldaðu.

$$0.06x+0.06y=2280,0.06x+0.15y=4170$$

Dragðu 0.06x+0.15y=4170 frá 0.06x+0.06y=2280 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$0.06x-0.06x+0.06y-0.15y=2280-4170$$

Leggðu \frac{3x}{50} saman við -\frac{3x}{50}. Liðirnir \frac{3x}{50} og -\frac{3x}{50} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$0.06y-0.15y=2280-4170$$

Leggðu \frac{3y}{50} saman við -\frac{3y}{20}.

$$-0.09y=2280-4170$$

Leggðu 2280 saman við -4170.

$$-0.09y=-1890$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.09. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=21000$$

Skiptu 21000 út fyrir y í 0.06x+0.15y=4170. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$0.06x+0.15\times 21000=4170$$

Margfaldaðu 0.15 sinnum 21000.

$$0.06x+3150=4170$$

Dragðu 3150 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.06x=1020$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.06. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=17000$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=17000,y=21000$$