Leysa {l}{x+y=250}{x/19+y/10=19}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 250 } \\ { \frac { x } { 19 } + \frac { y } { 10 } = 19 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{380}{3} = 126\frac{2}{3} \approx 126.666666667$$

$$y = \frac{370}{3} = 123\frac{1}{3} \approx 123.333333333$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=250$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+250$$

Settu -y+250 inn fyrir x í hinni jöfnunni, \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19.

$$\frac{1}{19}\left(-y+250\right)+\frac{1}{10}y=19$$

Margfaldaðu \frac{1}{19} sinnum -y+250.

$$-\frac{1}{19}y+\frac{250}{19}+\frac{1}{10}y=19$$

Leggðu -\frac{y}{19} saman við \frac{y}{10}.

$$\frac{9}{190}y+\frac{250}{19}=19$$

Dragðu \frac{250}{19} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{9}{190}y=\frac{111}{19}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{9}{190}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{370}{3}$$

Skiptu \frac{370}{3} út fyrir y í x=-y+250. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{370}{3}+250$$

Leggðu 250 saman við -\frac{370}{3}.

$$x=\frac{380}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{1}{19}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&-\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\\-\frac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}&\frac{1}{\frac{1}{10}-\frac{1}{19}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}&-\frac{190}{9}\\-\frac{10}{9}&\frac{190}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}250\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{9}\times 250-\frac{190}{9}\times 19\\-\frac{10}{9}\times 250+\frac{190}{9}\times 19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{380}{3}\\\frac{370}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Til að gera x og \frac{x}{19} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{1}{19} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{1}{19}\times 250,\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Einfaldaðu.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19},\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19$$

Dragðu \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19 frá \frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y=\frac{250}{19} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{1}{19}x-\frac{1}{19}x+\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

Leggðu \frac{x}{19} saman við -\frac{x}{19}. Liðirnir \frac{x}{19} og -\frac{x}{19} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\frac{1}{19}y-\frac{1}{10}y=\frac{250}{19}-19$$

Leggðu \frac{y}{19} saman við -\frac{y}{10}.

$$-\frac{9}{190}y=\frac{250}{19}-19$$

Leggðu \frac{250}{19} saman við -19.

$$-\frac{9}{190}y=-\frac{111}{19}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{9}{190}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{370}{3}$$

Skiptu \frac{370}{3} út fyrir y í \frac{1}{19}x+\frac{1}{10}y=19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\frac{1}{19}x+\frac{1}{10}\times \frac{370}{3}=19$$

Margfaldaðu \frac{1}{10} sinnum \frac{370}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$\frac{1}{19}x+\frac{37}{3}=19$$

Dragðu \frac{37}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{19}x=\frac{20}{3}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 19.

$$x=\frac{380}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{380}{3},y=\frac{370}{3}$$