Leysa {l}{x+y=200}{x+1/2y=160}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 200 } \\ { x + \frac { 1 } { 2 } y = 160 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=120$$

$$y=80$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=200$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+200$$

Settu -y+200 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+\frac{1}{2}y=160.

$$-y+200+\frac{1}{2}y=160$$

Leggðu -y saman við \frac{y}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+200=160$$

Dragðu 200 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{2}y=-40$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -2.

$$y=80$$

Skiptu 80 út fyrir y í x=-y+200. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-80+200$$

Leggðu 200 saman við -80.

$$x=120$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=120,y=80$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-1}&\frac{1}{\frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-200+2\times 160\\2\times 200-2\times 160\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\80\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=120,y=80$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=200,x+\frac{1}{2}y=160$$

Dragðu x+\frac{1}{2}y=160 frá x+y=200 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-x+y-\frac{1}{2}y=200-160$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y-\frac{1}{2}y=200-160$$

Leggðu y saman við -\frac{y}{2}.

$$\frac{1}{2}y=200-160$$

Leggðu 200 saman við -160.

$$\frac{1}{2}y=40$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$y=80$$

Skiptu 80 út fyrir y í x+\frac{1}{2}y=160. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+\frac{1}{2}\times 80=160$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 80.

$$x+40=160$$

Dragðu 40 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=120$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=120,y=80$$