Leysa {l}{x+y=2}{x+1/2=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { x + \frac { 1 } { 2 } = y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$y = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Dragðu \frac{1}{2} frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=2$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+2$$

Settu -y+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-y=-\frac{1}{2}.

$$-y+2-y=-\frac{1}{2}$$

Leggðu -y saman við -y.

$$-2y+2=-\frac{1}{2}$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2y=-\frac{5}{2}$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=\frac{5}{4}$$

Skiptu \frac{5}{4} út fyrir y í x=-y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{4}+2$$

Leggðu 2 saman við -\frac{5}{4}.

$$x=\frac{3}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Dragðu \frac{1}{2} frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\\\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x+\frac{1}{2}-y=0$$

Dragðu \frac{1}{2} frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$x-y=-\frac{1}{2}$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=2,x-y=-\frac{1}{2}$$

Dragðu x-y=-\frac{1}{2} frá x+y=2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-x+y+y=2+\frac{1}{2}$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y+y=2+\frac{1}{2}$$

Leggðu y saman við y.

$$2y=2+\frac{1}{2}$$

Leggðu 2 saman við \frac{1}{2}.

$$2y=\frac{5}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=\frac{5}{4}$$

Skiptu \frac{5}{4} út fyrir y í x-y=-\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-\frac{5}{4}=-\frac{1}{2}$$

Leggðu \frac{5}{4} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{3}{4}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3}{4},y=\frac{5}{4}$$