Leysa {l}{x+y=2}{2x-3y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { 2 x - 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y=\frac{3}{5}=0.6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=2,2x-3y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=2$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+2$$

Settu -y+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-3y=1.

$$2\left(-y+2\right)-3y=1$$

Margfaldaðu 2 sinnum -y+2.

$$-2y+4-3y=1$$

Leggðu -2y saman við -3y.

$$-5y+4=1$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5y=-3$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=\frac{3}{5}$$

Skiptu \frac{3}{5} út fyrir y í x=-y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{5}+2$$

Leggðu 2 saman við -\frac{3}{5}.

$$x=\frac{7}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{3}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=2,2x-3y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{1}{-3-2}\\-\frac{2}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 2+\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}\times 2-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{3}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=2,2x-3y=1$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2y=2\times 2,2x-3y=1$$

Einfaldaðu.

$$2x+2y=4,2x-3y=1$$

Dragðu 2x-3y=1 frá 2x+2y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+2y+3y=4-1$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+3y=4-1$$

Leggðu 2y saman við 3y.

$$5y=4-1$$

Leggðu 4 saman við -1.

$$5y=3$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=\frac{3}{5}$$

Skiptu \frac{3}{5} út fyrir y í 2x-3y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-3\times \frac{3}{5}=1$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{3}{5}.

$$2x-\frac{9}{5}=1$$

Leggðu \frac{9}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=\frac{14}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{7}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{7}{5},y=\frac{3}{5}$$