Leysa {l}{x+y=144}{10x+8y=1192}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 144 } \\ { 10 x + 8 y = 1192 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=20$$

$$y=124$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=144$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+144$$

Settu -y+144 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 10x+8y=1192.

$$10\left(-y+144\right)+8y=1192$$

Margfaldaðu 10 sinnum -y+144.

$$-10y+1440+8y=1192$$

Leggðu -10y saman við 8y.

$$-2y+1440=1192$$

Dragðu 1440 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2y=-248$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=124$$

Skiptu 124 út fyrir y í x=-y+144. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-124+144$$

Leggðu 144 saman við -124.

$$x=20$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=20,y=124$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-10}&-\frac{1}{8-10}\\-\frac{10}{8-10}&\frac{1}{8-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4&\frac{1}{2}\\5&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}144\\1192\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\times 144+\frac{1}{2}\times 1192\\5\times 144-\frac{1}{2}\times 1192\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\124\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=20,y=124$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=144,10x+8y=1192$$

Til að gera x og 10x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 10 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$10x+10y=10\times 144,10x+8y=1192$$

Einfaldaðu.

$$10x+10y=1440,10x+8y=1192$$

Dragðu 10x+8y=1192 frá 10x+10y=1440 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+10y-8y=1440-1192$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10y-8y=1440-1192$$

Leggðu 10y saman við -8y.

$$2y=1440-1192$$

Leggðu 1440 saman við -1192.

$$2y=248$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=124$$

Skiptu 124 út fyrir y í 10x+8y=1192. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$10x+8\times 124=1192$$

Margfaldaðu 8 sinnum 124.

$$10x+992=1192$$

Dragðu 992 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$10x=200$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=20$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=20,y=124$$