Leysa {l}{x+y=130}{20x+5y=1925}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 130 } \\ { 20 x + 5 y = 1925 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=85$$

$$y=45$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=130$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+130$$

Settu -y+130 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 20x+5y=1925.

$$20\left(-y+130\right)+5y=1925$$

Margfaldaðu 20 sinnum -y+130.

$$-20y+2600+5y=1925$$

Leggðu -20y saman við 5y.

$$-15y+2600=1925$$

Dragðu 2600 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-15y=-675$$

Deildu báðum hliðum með -15.

$$y=45$$

Skiptu 45 út fyrir y í x=-y+130. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-45+130$$

Leggðu 130 saman við -45.

$$x=85$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=85,y=45$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\20&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-20}&-\frac{1}{5-20}\\-\frac{20}{5-20}&\frac{1}{5-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\1925\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 130+\frac{1}{15}\times 1925\\\frac{4}{3}\times 130-\frac{1}{15}\times 1925\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}85\\45\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=85,y=45$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=130,20x+5y=1925$$

Til að gera x og 20x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 20 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$20x+20y=20\times 130,20x+5y=1925$$

Einfaldaðu.

$$20x+20y=2600,20x+5y=1925$$

Dragðu 20x+5y=1925 frá 20x+20y=2600 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$20x-20x+20y-5y=2600-1925$$

Leggðu 20x saman við -20x. Liðirnir 20x og -20x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$20y-5y=2600-1925$$

Leggðu 20y saman við -5y.

$$15y=2600-1925$$

Leggðu 2600 saman við -1925.

$$15y=675$$

Deildu báðum hliðum með 15.

$$y=45$$

Skiptu 45 út fyrir y í 20x+5y=1925. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$20x+5\times 45=1925$$

Margfaldaðu 5 sinnum 45.

$$20x+225=1925$$

Dragðu 225 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$20x=1700$$

Deildu báðum hliðum með 20.

$$x=85$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=85,y=45$$