Leysa {l}{x+y=-6}{y=3x-2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = - 6 } \\ { y = 3 x - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=-5$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=-2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=-6$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y-6$$

Settu -y-6 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -3x+y=-2.

$$-3\left(-y-6\right)+y=-2$$

Margfaldaðu -3 sinnum -y-6.

$$3y+18+y=-2$$

Leggðu 3y saman við y.

$$4y+18=-2$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4y=-20$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=-5$$

Skiptu -5 út fyrir y í x=-y-6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\left(-5\right)-6$$

Margfaldaðu -1 sinnum -5.

$$x=5-6$$

Leggðu -6 saman við 5.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-5$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=-2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{1}{4}\left(-2\right)\\\frac{3}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=-5$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 3x frá báðum hliðum.

$$y-3x=-2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=-6,-3x+y=-2$$

Dragðu -3x+y=-2 frá x+y=-6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x+3x+y-y=-6+2$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$x+3x=-6+2$$

Leggðu x saman við 3x.

$$4x=-6+2$$

Leggðu -6 saman við 2.

$$4x=-4$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=-1$$

Skiptu -1 út fyrir x í -3x+y=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-3\left(-1\right)+y=-2$$

Margfaldaðu -3 sinnum -1.

$$3+y=-2$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-5$$