Leysa {l}{x+y=-4}{y=5x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = - 4 } \\ { y = 5 x + 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=-4$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y-4$$

Settu -y-4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x+y=2.

$$-5\left(-y-4\right)+y=2$$

Margfaldaðu -5 sinnum -y-4.

$$5y+20+y=2$$

Leggðu 5y saman við y.

$$6y+20=2$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6y=-18$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=-y-4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\left(-3\right)-4$$

Margfaldaðu -1 sinnum -3.

$$x=3-4$$

Leggðu -4 saman við 3.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-5\right)}&-\frac{1}{1-\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{1-\left(-5\right)}&\frac{1}{1-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-4\right)-\frac{1}{6}\times 2\\\frac{5}{6}\left(-4\right)+\frac{1}{6}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=-3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 5x frá báðum hliðum.

$$y-5x=2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=-4,-5x+y=2$$

Dragðu -5x+y=2 frá x+y=-4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x+5x+y-y=-4-2$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$x+5x=-4-2$$

Leggðu x saman við 5x.

$$6x=-4-2$$

Leggðu -4 saman við -2.

$$6x=-6$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=-1$$

Skiptu -1 út fyrir x í -5x+y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-5\left(-1\right)+y=2$$

Margfaldaðu -5 sinnum -1.

$$5+y=2$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=-3$$