Leysa {l}{x+6y=27}{7x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 6 y = 27 } \\ { 7 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+6y=27$$

Dragðu 6y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-6y+27$$

Settu -6y+27 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x-3y=9.

$$7\left(-6y+27\right)-3y=9$$

Margfaldaðu 7 sinnum -6y+27.

$$-42y+189-3y=9$$

Leggðu -42y saman við -3y.

$$-45y+189=9$$

Dragðu 189 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-45y=-180$$

Deildu báðum hliðum með -45.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=-6y+27. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-6\times 4+27$$

Margfaldaðu -6 sinnum 4.

$$x=-24+27$$

Leggðu 27 saman við -24.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-6\times 7}&-\frac{6}{-3-6\times 7}\\-\frac{7}{-3-6\times 7}&\frac{1}{-3-6\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{2}{15}\\\frac{7}{45}&-\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 27+\frac{2}{15}\times 9\\\frac{7}{45}\times 27-\frac{1}{45}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+6y=27,7x-3y=9$$

Til að gera x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$7x+7\times 6y=7\times 27,7x-3y=9$$

Einfaldaðu.

$$7x+42y=189,7x-3y=9$$

Dragðu 7x-3y=9 frá 7x+42y=189 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$7x-7x+42y+3y=189-9$$

Leggðu 7x saman við -7x. Liðirnir 7x og -7x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$42y+3y=189-9$$

Leggðu 42y saman við 3y.

$$45y=189-9$$

Leggðu 189 saman við -9.

$$45y=180$$

Deildu báðum hliðum með 45.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í 7x-3y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x-3\times 4=9$$

Margfaldaðu -3 sinnum 4.

$$7x-12=9$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=21$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=4$$