Leysa {l}{x+6y=19}{2x+2y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 6 y = 19 } \\ { 2 x + 2 y = 18 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=7$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+6y=19,2x+2y=18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+6y=19$$

Dragðu 6y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-6y+19$$

Settu -6y+19 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+2y=18.

$$2\left(-6y+19\right)+2y=18$$

Margfaldaðu 2 sinnum -6y+19.

$$-12y+38+2y=18$$

Leggðu -12y saman við 2y.

$$-10y+38=18$$

Dragðu 38 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-10y=-20$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-6y+19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-6\times 2+19$$

Margfaldaðu -6 sinnum 2.

$$x=-12+19$$

Leggðu 19 saman við -12.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+6y=19,2x+2y=18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-6\times 2}&-\frac{6}{2-6\times 2}\\-\frac{2}{2-6\times 2}&\frac{1}{2-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 19+\frac{3}{5}\times 18\\\frac{1}{5}\times 19-\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=7,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+6y=19,2x+2y=18$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2\times 6y=2\times 19,2x+2y=18$$

Einfaldaðu.

$$2x+12y=38,2x+2y=18$$

Dragðu 2x+2y=18 frá 2x+12y=38 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+12y-2y=38-18$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y-2y=38-18$$

Leggðu 12y saman við -2y.

$$10y=38-18$$

Leggðu 38 saman við -18.

$$10y=20$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 2x+2y=18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+2\times 2=18$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2.

$$2x+4=18$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=14$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=2$$