Leysa {l}{x+5y=-20}{7x+12y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 y = - 20 } \\ { 7 x + 12 y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{290}{23} = 12\frac{14}{23} \approx 12.608695652$$

$$y = -\frac{150}{23} = -6\frac{12}{23} \approx -6.52173913$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+5y=-20,7x+12y=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+5y=-20$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-5y-20$$

Settu -5y-20 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x+12y=10.

$$7\left(-5y-20\right)+12y=10$$

Margfaldaðu 7 sinnum -5y-20.

$$-35y-140+12y=10$$

Leggðu -35y saman við 12y.

$$-23y-140=10$$

Leggðu 140 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-23y=150$$

Deildu báðum hliðum með -23.

$$y=-\frac{150}{23}$$

Skiptu -\frac{150}{23} út fyrir y í x=-5y-20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-5\left(-\frac{150}{23}\right)-20$$

Margfaldaðu -5 sinnum -\frac{150}{23}.

$$x=\frac{750}{23}-20$$

Leggðu -20 saman við \frac{750}{23}.

$$x=\frac{290}{23}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{290}{23},y=-\frac{150}{23}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+5y=-20,7x+12y=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\7&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&5\\7&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\7&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{12-5\times 7}&-\frac{5}{12-5\times 7}\\-\frac{7}{12-5\times 7}&\frac{1}{12-5\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{23}&\frac{5}{23}\\\frac{7}{23}&-\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{23}\left(-20\right)+\frac{5}{23}\times 10\\\frac{7}{23}\left(-20\right)-\frac{1}{23}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{290}{23}\\-\frac{150}{23}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{290}{23},y=-\frac{150}{23}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+5y=-20,7x+12y=10$$

Til að gera x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$7x+7\times 5y=7\left(-20\right),7x+12y=10$$

Einfaldaðu.

$$7x+35y=-140,7x+12y=10$$

Dragðu 7x+12y=10 frá 7x+35y=-140 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$7x-7x+35y-12y=-140-10$$

Leggðu 7x saman við -7x. Liðirnir 7x og -7x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$35y-12y=-140-10$$

Leggðu 35y saman við -12y.

$$23y=-140-10$$

Leggðu -140 saman við -10.

$$23y=-150$$

Deildu báðum hliðum með 23.

$$y=-\frac{150}{23}$$

Skiptu -\frac{150}{23} út fyrir y í 7x+12y=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x+12\left(-\frac{150}{23}\right)=10$$

Margfaldaðu 12 sinnum -\frac{150}{23}.

$$7x-\frac{1800}{23}=10$$

Leggðu \frac{1800}{23} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=\frac{2030}{23}$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{290}{23}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{290}{23},y=-\frac{150}{23}$$