Leysa {l}{x+5=3y}{y-2=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 5 = 3 y } \\ { y - 2 = 2 x } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$y = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$x+5-3y=0$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$x-3y=-5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2-2x=0$$

Bættu 2 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$y-2x=2$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-3y=-5$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=3y-5$$

Settu 3y-5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+y=2.

$$-2\left(3y-5\right)+y=2$$

Margfaldaðu -2 sinnum 3y-5.

$$-6y+10+y=2$$

Leggðu -6y saman við y.

$$-5y+10=2$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5y=-8$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=\frac{8}{5}$$

Skiptu \frac{8}{5} út fyrir y í x=3y-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=3\times \frac{8}{5}-5$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{8}{5}.

$$x=\frac{24}{5}-5$$

Leggðu -5 saman við \frac{24}{5}.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$x+5-3y=0$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$x-3y=-5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2-2x=0$$

Bættu 2 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$y-2x=2$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\-\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{3}{5}\times 2\\-\frac{2}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\\\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$x+5-3y=0$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$x-3y=-5$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2-2x=0$$

Bættu 2 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$y-2x=2$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-3y=-5,-2x+y=2$$

Til að gera x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-2x-2\left(-3\right)y=-2\left(-5\right),-2x+y=2$$

Einfaldaðu.

$$-2x+6y=10,-2x+y=2$$

Dragðu -2x+y=2 frá -2x+6y=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x+6y-y=10-2$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-y=10-2$$

Leggðu 6y saman við -y.

$$5y=10-2$$

Leggðu 10 saman við -2.

$$5y=8$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=\frac{8}{5}$$

Skiptu \frac{8}{5} út fyrir y í -2x+y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x+\frac{8}{5}=2$$

Dragðu \frac{8}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=\frac{2}{5}$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{5},y=\frac{8}{5}$$