Leysa {l}{x+4y=41}{4x+5y=65}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 4 y = 41 } \\ { 4 x + 5 y = 65 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=9$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+4y=41$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-4y+41$$

Settu -4y+41 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+5y=65.

$$4\left(-4y+41\right)+5y=65$$

Margfaldaðu 4 sinnum -4y+41.

$$-16y+164+5y=65$$

Leggðu -16y saman við 5y.

$$-11y+164=65$$

Dragðu 164 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-11y=-99$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í x=-4y+41. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-4\times 9+41$$

Margfaldaðu -4 sinnum 9.

$$x=-36+41$$

Leggðu 41 saman við -36.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=9$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4\times 4}&-\frac{4}{5-4\times 4}\\-\frac{4}{5-4\times 4}&\frac{1}{5-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}&\frac{4}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}41\\65\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{11}\times 41+\frac{4}{11}\times 65\\\frac{4}{11}\times 41-\frac{1}{11}\times 65\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=9$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+4y=41,4x+5y=65$$

Til að gera x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$4x+4\times 4y=4\times 41,4x+5y=65$$

Einfaldaðu.

$$4x+16y=164,4x+5y=65$$

Dragðu 4x+5y=65 frá 4x+16y=164 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x+16y-5y=164-65$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$16y-5y=164-65$$

Leggðu 16y saman við -5y.

$$11y=164-65$$

Leggðu 164 saman við -65.

$$11y=99$$

Deildu báðum hliðum með 11.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í 4x+5y=65. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+5\times 9=65$$

Margfaldaðu 5 sinnum 9.

$$4x+45=65$$

Dragðu 45 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=20$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=9$$