Leysa {l}{x+3y=4}{4x+6y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 4 } \\ { 4 x + 6 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+3y=4,4x+6y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+3y=4$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-3y+4$$

Settu -3y+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+6y=7.

$$4\left(-3y+4\right)+6y=7$$

Margfaldaðu 4 sinnum -3y+4.

$$-12y+16+6y=7$$

Leggðu -12y saman við 6y.

$$-6y+16=7$$

Dragðu 16 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-6y=-9$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$y=\frac{3}{2}$$

Skiptu \frac{3}{2} út fyrir y í x=-3y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-3\times \frac{3}{2}+4$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{3}{2}.

$$x=-\frac{9}{2}+4$$

Leggðu 4 saman við -\frac{9}{2}.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+3y=4,4x+6y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6-3\times 4}&-\frac{3}{6-3\times 4}\\-\frac{4}{6-3\times 4}&\frac{1}{6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+\frac{1}{2}\times 7\\\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{6}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+3y=4,4x+6y=7$$

Til að gera x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$4x+4\times 3y=4\times 4,4x+6y=7$$

Einfaldaðu.

$$4x+12y=16,4x+6y=7$$

Dragðu 4x+6y=7 frá 4x+12y=16 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x+12y-6y=16-7$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y-6y=16-7$$

Leggðu 12y saman við -6y.

$$6y=16-7$$

Leggðu 16 saman við -7.

$$6y=9$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=\frac{3}{2}$$

Skiptu \frac{3}{2} út fyrir y í 4x+6y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+6\times \frac{3}{2}=7$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{3}{2}.

$$4x+9=7$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-2$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{3}{2}$$