Leysa {l}{x+3y=26}{7x-2y=44}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 26 } \\ { 7 x - 2 y = 44 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=8$$

$$y=6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+3y=26$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-3y+26$$

Settu -3y+26 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x-2y=44.

$$7\left(-3y+26\right)-2y=44$$

Margfaldaðu 7 sinnum -3y+26.

$$-21y+182-2y=44$$

Leggðu -21y saman við -2y.

$$-23y+182=44$$

Dragðu 182 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-23y=-138$$

Deildu báðum hliðum með -23.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í x=-3y+26. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-3\times 6+26$$

Margfaldaðu -3 sinnum 6.

$$x=-18+26$$

Leggðu 26 saman við -18.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\7&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 7}&-\frac{3}{-2-3\times 7}\\-\frac{7}{-2-3\times 7}&\frac{1}{-2-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\\\frac{7}{23}&-\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}26\\44\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}\times 26+\frac{3}{23}\times 44\\\frac{7}{23}\times 26-\frac{1}{23}\times 44\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=8,y=6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+3y=26,7x-2y=44$$

Til að gera x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$7x+7\times 3y=7\times 26,7x-2y=44$$

Einfaldaðu.

$$7x+21y=182,7x-2y=44$$

Dragðu 7x-2y=44 frá 7x+21y=182 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$7x-7x+21y+2y=182-44$$

Leggðu 7x saman við -7x. Liðirnir 7x og -7x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$21y+2y=182-44$$

Leggðu 21y saman við 2y.

$$23y=182-44$$

Leggðu 182 saman við -44.

$$23y=138$$

Deildu báðum hliðum með 23.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í 7x-2y=44. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x-2\times 6=44$$

Margfaldaðu -2 sinnum 6.

$$7x-12=44$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=56$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=6$$