Leysa {l}{x+3y=1}{3x+7y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 1 } \\ { 3 x + 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+3y=1,3x+7y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+3y=1$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-3y+1$$

Settu -3y+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+7y=1.

$$3\left(-3y+1\right)+7y=1$$

Margfaldaðu 3 sinnum -3y+1.

$$-9y+3+7y=1$$

Leggðu -9y saman við 7y.

$$-2y+3=1$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2y=-2$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=-3y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-3+1$$

Leggðu 1 saman við -3.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+3y=1,3x+7y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&3\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-3\times 3}&-\frac{3}{7-3\times 3}\\-\frac{3}{7-3\times 3}&\frac{1}{7-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2}&\frac{3}{2}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-7+3}{2}\\\frac{3-1}{2}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+3y=1,3x+7y=1$$

Til að gera x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3x+3\times 3y=3,3x+7y=1$$

Einfaldaðu.

$$3x+9y=3,3x+7y=1$$

Dragðu 3x+7y=1 frá 3x+9y=3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+9y-7y=3-1$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9y-7y=3-1$$

Leggðu 9y saman við -7y.

$$2y=3-1$$

Leggðu 3 saman við -1.

$$2y=2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í 3x+7y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+7=1$$

Dragðu 7 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=1$$