Leysa {l}{x+2y=8}{x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 8 } \\ { x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{42}{5} = 8\frac{2}{5} = 8.4$$

$$y=-\frac{1}{5}=-0.2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=8,x-3y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=8$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y+8$$

Settu -2y+8 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-3y=9.

$$-2y+8-3y=9$$

Leggðu -2y saman við -3y.

$$-5y+8=9$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5y=1$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Skiptu -\frac{1}{5} út fyrir y í x=-2y+8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\left(-\frac{1}{5}\right)+8$$

Margfaldaðu -2 sinnum -\frac{1}{5}.

$$x=\frac{2}{5}+8$$

Leggðu 8 saman við \frac{2}{5}.

$$x=\frac{42}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=8,x-3y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{2}{-3-2}\\-\frac{1}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 9\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{1}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{5}\\-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=8,x-3y=9$$

Dragðu x-3y=9 frá x+2y=8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-x+2y+3y=8-9$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+3y=8-9$$

Leggðu 2y saman við 3y.

$$5y=8-9$$

Leggðu 8 saman við -9.

$$5y=-1$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Skiptu -\frac{1}{5} út fyrir y í x-3y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-3\left(-\frac{1}{5}\right)=9$$

Margfaldaðu -3 sinnum -\frac{1}{5}.

$$x+\frac{3}{5}=9$$

Dragðu \frac{3}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{42}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{42}{5},y=-\frac{1}{5}$$