Leysa {l}{x+2y=5}{x-y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 5 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=5,x-y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=5$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y+5$$

Settu -2y+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-y=4.

$$-2y+5-y=4$$

Leggðu -2y saman við -y.

$$-3y+5=4$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3y=-1$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=\frac{1}{3}$$

Skiptu \frac{1}{3} út fyrir y í x=-2y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times \frac{1}{3}+5$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{1}{3}.

$$x=-\frac{2}{3}+5$$

Leggðu 5 saman við -\frac{2}{3}.

$$x=\frac{13}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{13}{3},y=\frac{1}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=5,x-y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{2}{-1-2}\\-\frac{1}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\times 4\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{1}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{13}{3},y=\frac{1}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=5,x-y=4$$

Dragðu x-y=4 frá x+2y=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-x+2y+y=5-4$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+y=5-4$$

Leggðu 2y saman við y.

$$3y=5-4$$

Leggðu 5 saman við -4.

$$3y=1$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

Skiptu \frac{1}{3} út fyrir y í x-y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-\frac{1}{3}=4$$

Leggðu \frac{1}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{13}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{13}{3},y=\frac{1}{3}$$