Leysa {l}{x+2y=4}{y=2x+7}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 4 } \\ { y = 2 x + 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=7$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=4$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y+4$$

Settu -2y+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+y=7.

$$-2\left(-2y+4\right)+y=7$$

Margfaldaðu -2 sinnum -2y+4.

$$4y-8+y=7$$

Leggðu 4y saman við y.

$$5y-8=7$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5y=15$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-2y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times 3+4$$

Margfaldaðu -2 sinnum 3.

$$x=-6+4$$

Leggðu 4 saman við -6.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=3$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=7$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4-\frac{2}{5}\times 7\\\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=3$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=7$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=4,-2x+y=7$$

Til að gera x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-2x-2\times 2y=-2\times 4,-2x+y=7$$

Einfaldaðu.

$$-2x-4y=-8,-2x+y=7$$

Dragðu -2x+y=7 frá -2x-4y=-8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x-4y-y=-8-7$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-y=-8-7$$

Leggðu -4y saman við -y.

$$-5y=-8-7$$

Leggðu -8 saman við -7.

$$-5y=-15$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í -2x+y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x+3=7$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=4$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=3$$