Leysa {l}{x+2y=3}{2x+2y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 3 } \\ { 2 x + 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=3,2x+2y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=3$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y+3$$

Settu -2y+3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+2y=3.

$$2\left(-2y+3\right)+2y=3$$

Margfaldaðu 2 sinnum -2y+3.

$$-4y+6+2y=3$$

Leggðu -4y saman við 2y.

$$-2y+6=3$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2y=-3$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=\frac{3}{2}$$

Skiptu \frac{3}{2} út fyrir y í x=-2y+3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times \frac{3}{2}+3$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{3}{2}.

$$x=-3+3$$

Leggðu 3 saman við -3.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=3,2x+2y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-2\times 2}&-\frac{2}{2-2\times 2}\\-\frac{2}{2-2\times 2}&\frac{1}{2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3+3\\3-\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=3,2x+2y=3$$

Dragðu 2x+2y=3 frá x+2y=3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-2x+2y-2y=3-3$$

Leggðu 2y saman við -2y. Liðirnir 2y og -2y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$x-2x=3-3$$

Leggðu x saman við -2x.

$$-x=3-3$$

Leggðu 3 saman við -3.

$$-x=0$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=0$$

Skiptu 0 út fyrir x í 2x+2y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2y=3$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=\frac{3}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=\frac{3}{2}$$