Leysa {l}{x+2y=10}{3y-2x=5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 10 } \\ { 3 y - 2 x = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \approx 2.857142857$$

$$y = \frac{25}{7} = 3\frac{4}{7} \approx 3.571428571$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=10$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y+10$$

Settu -2y+10 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+3y=5.

$$-2\left(-2y+10\right)+3y=5$$

Margfaldaðu -2 sinnum -2y+10.

$$4y-20+3y=5$$

Leggðu 4y saman við 3y.

$$7y-20=5$$

Leggðu 20 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7y=25$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=\frac{25}{7}$$

Skiptu \frac{25}{7} út fyrir y í x=-2y+10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times \frac{25}{7}+10$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{25}{7}.

$$x=-\frac{50}{7}+10$$

Leggðu 10 saman við -\frac{50}{7}.

$$x=\frac{20}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{3-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3-2\left(-2\right)}&\frac{1}{3-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10-\frac{2}{7}\times 5\\\frac{2}{7}\times 10+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{7}\\\frac{25}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=10,-2x+3y=5$$

Til að gera x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-2x-2\times 2y=-2\times 10,-2x+3y=5$$

Einfaldaðu.

$$-2x-4y=-20,-2x+3y=5$$

Dragðu -2x+3y=5 frá -2x-4y=-20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x-4y-3y=-20-5$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y-3y=-20-5$$

Leggðu -4y saman við -3y.

$$-7y=-20-5$$

Leggðu -20 saman við -5.

$$-7y=-25$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=\frac{25}{7}$$

Skiptu \frac{25}{7} út fyrir y í -2x+3y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x+3\times \frac{25}{7}=5$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{25}{7}.

$$-2x+\frac{75}{7}=5$$

Dragðu \frac{75}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=-\frac{40}{7}$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=\frac{20}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{20}{7},y=\frac{25}{7}$$