Leysa {l}{x+2y=10}{2x+3y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 10 } \\ { 2 x + 3 y = 17 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=10,2x+3y=17$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=10$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y+10$$

Settu -2y+10 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+3y=17.

$$2\left(-2y+10\right)+3y=17$$

Margfaldaðu 2 sinnum -2y+10.

$$-4y+20+3y=17$$

Leggðu -4y saman við 3y.

$$-y+20=17$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-y=-3$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-2y+10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times 3+10$$

Margfaldaðu -2 sinnum 3.

$$x=-6+10$$

Leggðu 10 saman við -6.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=10,2x+3y=17$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\17\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\17\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{1}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 10+2\times 17\\2\times 10-17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=10,2x+3y=17$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2\times 2y=2\times 10,2x+3y=17$$

Einfaldaðu.

$$2x+4y=20,2x+3y=17$$

Dragðu 2x+3y=17 frá 2x+4y=20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+4y-3y=20-17$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$4y-3y=20-17$$

Leggðu 4y saman við -3y.

$$y=20-17$$

Leggðu 20 saman við -17.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í 2x+3y=17. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+3\times 3=17$$

Margfaldaðu 3 sinnum 3.

$$2x+9=17$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=8$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=3$$