Leysa {l}{x+2y=1}{y=4x-5}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { y = 4 x - 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{11}{9} = 1\frac{2}{9} \approx 1.222222222$$

$$y=-\frac{1}{9}\approx -0.111111111$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$y-4x=-5$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=1$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y+1$$

Settu -2y+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -4x+y=-5.

$$-4\left(-2y+1\right)+y=-5$$

Margfaldaðu -4 sinnum -2y+1.

$$8y-4+y=-5$$

Leggðu 8y saman við y.

$$9y-4=-5$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$9y=-1$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

Skiptu -\frac{1}{9} út fyrir y í x=-2y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\left(-\frac{1}{9}\right)+1$$

Margfaldaðu -2 sinnum -\frac{1}{9}.

$$x=\frac{2}{9}+1$$

Leggðu 1 saman við \frac{2}{9}.

$$x=\frac{11}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$y-4x=-5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{1-2\left(-4\right)}&\frac{1}{1-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{2}{9}\\\frac{4}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}-\frac{2}{9}\left(-5\right)\\\frac{4}{9}+\frac{1}{9}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{9}\\-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 4x frá báðum hliðum.

$$y-4x=-5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=1,-4x+y=-5$$

Til að gera x og -4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-4x-4\times 2y=-4,-4x+y=-5$$

Einfaldaðu.

$$-4x-8y=-4,-4x+y=-5$$

Dragðu -4x+y=-5 frá -4x-8y=-4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-4x+4x-8y-y=-4+5$$

Leggðu -4x saman við 4x. Liðirnir -4x og 4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-8y-y=-4+5$$

Leggðu -8y saman við -y.

$$-9y=-4+5$$

Leggðu -4 saman við 5.

$$-9y=1$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$y=-\frac{1}{9}$$

Skiptu -\frac{1}{9} út fyrir y í -4x+y=-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-4x-\frac{1}{9}=-5$$

Leggðu \frac{1}{9} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-4x=-\frac{44}{9}$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=\frac{11}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{11}{9},y=-\frac{1}{9}$$