Leysa {l}{x+2y+3=0}{4x+5y+6=0}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y + 3 = 0 } \\ { 4 x + 5 y + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y+3=0$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x+2y=-3$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y-3$$

Settu -2y-3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+5y+6=0.

$$4\left(-2y-3\right)+5y+6=0$$

Margfaldaðu 4 sinnum -2y-3.

$$-8y-12+5y+6=0$$

Leggðu -8y saman við 5y.

$$-3y-12+6=0$$

Leggðu -12 saman við 6.

$$-3y-6=0$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-3y=6$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=-2y-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\left(-2\right)-3$$

Margfaldaðu -2 sinnum -2.

$$x=4-3$$

Leggðu -3 saman við 4.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{1}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\left(-3\right)+\frac{2}{3}\left(-6\right)\\\frac{4}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y+3=0,4x+5y+6=0$$

Til að gera x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$4x+4\times 2y+4\times 3=0,4x+5y+6=0$$

Einfaldaðu.

$$4x+8y+12=0,4x+5y+6=0$$

Dragðu 4x+5y+6=0 frá 4x+8y+12=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4x-4x+8y-5y+12-6=0$$

Leggðu 4x saman við -4x. Liðirnir 4x og -4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8y-5y+12-6=0$$

Leggðu 8y saman við -5y.

$$3y+12-6=0$$

Leggðu 12 saman við -6.

$$3y+6=0$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3y=-6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í 4x+5y+6=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+5\left(-2\right)+6=0$$

Margfaldaðu 5 sinnum -2.

$$4x-10+6=0$$

Leggðu -10 saman við 6.

$$4x-4=0$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=4$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-2$$