Leysa {l}{p+2q=4}{-3p+4q=18}

$$\left. \begin{array} { l } { p + 2 q = 4 } \\ { - 3 p + 4 q = 18 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir p, q

$$p=-2$$

$$q=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu p með því að einangra p vinstra megin við samasemmerkið.

$$p+2q=4$$

Dragðu 2q frá báðum hliðum jöfnunar.

$$p=-2q+4$$

Settu -2q+4 inn fyrir p í hinni jöfnunni, -3p+4q=18.

$$-3\left(-2q+4\right)+4q=18$$

Margfaldaðu -3 sinnum -2q+4.

$$6q-12+4q=18$$

Leggðu 6q saman við 4q.

$$10q-12=18$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$10q=30$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$q=3$$

Skiptu 3 út fyrir q í p=-2q+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst p strax.

$$p=-2\times 3+4$$

Margfaldaðu -2 sinnum 3.

$$p=-6+4$$

Leggðu 4 saman við -6.

$$p=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$p=-2,q=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-2\left(-3\right)}&\frac{1}{4-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 4-\frac{1}{5}\times 18\\\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna p og q.

$$p=-2,q=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$p+2q=4,-3p+4q=18$$

Til að gera p og -3p jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-3p-3\times 2q=-3\times 4,-3p+4q=18$$

Einfaldaðu.

$$-3p-6q=-12,-3p+4q=18$$

Dragðu -3p+4q=18 frá -3p-6q=-12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3p+3p-6q-4q=-12-18$$

Leggðu -3p saman við 3p. Liðirnir -3p og 3p núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6q-4q=-12-18$$

Leggðu -6q saman við -4q.

$$-10q=-12-18$$

Leggðu -12 saman við -18.

$$-10q=-30$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$q=3$$

Skiptu 3 út fyrir q í -3p+4q=18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst p strax.

$$-3p+4\times 3=18$$

Margfaldaðu 4 sinnum 3.

$$-3p+12=18$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3p=6$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$p=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$p=-2,q=3$$