Leysa {l}{n+y=4}{2n+3y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { n + y = 4 } \\ { 2 n + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir n, y

$$y=4$$

$$n=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu n með því að einangra n vinstra megin við samasemmerkið.

$$n+y=4$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$n=-y+4$$

Settu -y+4 inn fyrir n í hinni jöfnunni, 2n+3y=12.

$$2\left(-y+4\right)+3y=12$$

Margfaldaðu 2 sinnum -y+4.

$$-2y+8+3y=12$$

Leggðu -2y saman við 3y.

$$y+8=12$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í n=-y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst n strax.

$$n=-4+4$$

Leggðu 4 saman við -4.

$$n=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$n=0,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2}&-\frac{1}{3-2}\\-\frac{2}{3-2}&\frac{1}{3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 4-12\\-2\times 4+12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna n og y.

$$n=0,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$n+y=4,2n+3y=12$$

Til að gera n og 2n jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2n+2y=2\times 4,2n+3y=12$$

Einfaldaðu.

$$2n+2y=8,2n+3y=12$$

Dragðu 2n+3y=12 frá 2n+2y=8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2n-2n+2y-3y=8-12$$

Leggðu 2n saman við -2n. Liðirnir 2n og -2n núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y-3y=8-12$$

Leggðu 2y saman við -3y.

$$-y=8-12$$

Leggðu 8 saman við -12.

$$-y=-4$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í 2n+3y=12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst n strax.

$$2n+3\times 4=12$$

Margfaldaðu 3 sinnum 4.

$$2n+12=12$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2n=0$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$n=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$n=0,y=4$$