Leysa {l}{mx-y-3m+1=0}{x+my-3m-1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - y - 3 m + 1 = 0 } \\ { x + m y - 3 m - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$mx-y+1-3m=0$$

Dragðu -3m+1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$mx-y=3m-1$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$mx=y+3m-1$$

Deildu báðum hliðum með m.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{m} sinnum y+3m-1.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

Settu \frac{y-1+3m}{m} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+my-3m-1=0.

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

Leggðu \frac{y}{m} saman við my.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

Leggðu 3-\frac{1}{m} saman við -3m-1.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

Dragðu 2-\frac{1}{m}-3m frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

Deildu báðum hliðum með m+\frac{1}{m}.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Skiptu \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} út fyrir y í x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

Margfaldaðu \frac{1}{m} sinnum \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1}.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

Leggðu 3-\frac{1}{m} saman við \frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)}.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Til að gera mx og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með m.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

Einfaldaðu.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

Dragðu mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 frá mx-y+1-3m=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Leggðu mx saman við -mx. Liðirnir mx og -mx núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Leggðu -y saman við -m^{2}y.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

Leggðu -3m+1 saman við m\left(3m+1\right).

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

Dragðu -2m+1+3m^{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

Deildu báðum hliðum með -1-m^{2}.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

Skiptu -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} út fyrir y í x+my-3m-1=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

Margfaldaðu m sinnum -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}}.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

Leggðu -\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} saman við -3m-1.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}=0$$

Leggðu \frac{2m+3m^{2}+1}{1+m^{2}} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$