Leysa {l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Leggðu ny saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Deildu báðum hliðum með m.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{m} sinnum ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Settu \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Leggðu \frac{ny}{m} saman við y.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Dragðu m+\frac{n^{2}}{m} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Deildu báðum hliðum með \frac{m+n}{m}.

$$y=m-n$$

Skiptu m-n út fyrir y í x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Margfaldaðu \frac{n}{m} sinnum m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Leggðu m+\frac{n^{2}}{m} saman við \frac{n\left(m-n\right)}{m}.

$$x=m+n$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=m+n,y=m-n$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=m+n,y=m-n$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Til að gera mx og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með m.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Einfaldaðu.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Dragðu mx+my=2m^{2} frá mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Leggðu mx saman við -mx. Liðirnir mx og -mx núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Leggðu -ny saman við -my.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Leggðu m^{2}+n^{2} saman við -2m^{2}.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Deildu báðum hliðum með -m-n.

$$y=m-n$$

Skiptu m-n út fyrir y í x+y=2m. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+m-n=2m$$

Dragðu m-n frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=m+n$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=m+n,y=m-n$$

Leystu fyrir x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Leggðu ny saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Deildu báðum hliðum með m.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{m} sinnum ny+m^{2}+n^{2}.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Settu \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

Leggðu \frac{ny}{m} saman við y.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Dragðu m+\frac{n^{2}}{m} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Deildu báðum hliðum með \frac{m+n}{m}.

$$y=m-n$$

Skiptu m-n út fyrir y í x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Margfaldaðu \frac{n}{m} sinnum m-n.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Leggðu m+\frac{n^{2}}{m} saman við \frac{n\left(m-n\right)}{m}.

$$x=m+n$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=m+n,y=m-n$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=m+n,y=m-n$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Til að gera mx og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með m.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Einfaldaðu.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Dragðu mx+my=2m^{2} frá mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Leggðu mx saman við -mx. Liðirnir mx og -mx núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Leggðu -ny saman við -my.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

Leggðu m^{2}+n^{2} saman við -2m^{2}.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Deildu báðum hliðum með -m-n.

$$y=m-n$$

Skiptu m-n út fyrir y í x+y=2m. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+m-n=2m$$

Dragðu m-n frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=m+n$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=m+n,y=m-n$$