Leysa {l}{m-3n=1}{m+3n=5}

$$\left. \begin{array} { l } { m - 3 n = 1 } \\ { m + 3 n = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, n

$$m=3$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$m-3n=1,m+3n=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$m-3n=1$$

Leggðu 3n saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$m=3n+1$$

Settu 3n+1 inn fyrir m í hinni jöfnunni, m+3n=5.

$$3n+1+3n=5$$

Leggðu 3n saman við 3n.

$$6n+1=5$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6n=4$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$n=\frac{2}{3}$$

Skiptu \frac{2}{3} út fyrir n í m=3n+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=3\times \frac{2}{3}+1$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{2}{3}.

$$m=2+1$$

Leggðu 1 saman við 2.

$$m=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=3,n=\frac{2}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$m-3n=1,m+3n=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5\\-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og n.

$$m=3,n=\frac{2}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$m-3n=1,m+3n=5$$

Dragðu m+3n=5 frá m-3n=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$m-m-3n-3n=1-5$$

Leggðu m saman við -m. Liðirnir m og -m núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3n-3n=1-5$$

Leggðu -3n saman við -3n.

$$-6n=1-5$$

Leggðu 1 saman við -5.

$$-6n=-4$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$n=\frac{2}{3}$$

Skiptu \frac{2}{3} út fyrir n í m+3n=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m+3\times \frac{2}{3}=5$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{2}{3}.

$$m+2=5$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$m=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=3,n=\frac{2}{3}$$