Leysa {l}{m+n=25}{m-2n=2}

$$\left. \begin{array} { l } { m + n = 25 } \\ { m - 2 n = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, n

$$m = \frac{52}{3} = 17\frac{1}{3} \approx 17.333333333$$

$$n = \frac{23}{3} = 7\frac{2}{3} \approx 7.666666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$m+n=25,m-2n=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$m+n=25$$

Dragðu n frá báðum hliðum jöfnunar.

$$m=-n+25$$

Settu -n+25 inn fyrir m í hinni jöfnunni, m-2n=2.

$$-n+25-2n=2$$

Leggðu -n saman við -2n.

$$-3n+25=2$$

Dragðu 25 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3n=-23$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$n=\frac{23}{3}$$

Skiptu \frac{23}{3} út fyrir n í m=-n+25. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=-\frac{23}{3}+25$$

Leggðu 25 saman við -\frac{23}{3}.

$$m=\frac{52}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=\frac{52}{3},n=\frac{23}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$m+n=25,m-2n=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 25+\frac{1}{3}\times 2\\\frac{1}{3}\times 25-\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{52}{3}\\\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og n.

$$m=\frac{52}{3},n=\frac{23}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$m+n=25,m-2n=2$$

Dragðu m-2n=2 frá m+n=25 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$m-m+n+2n=25-2$$

Leggðu m saman við -m. Liðirnir m og -m núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$n+2n=25-2$$

Leggðu n saman við 2n.

$$3n=25-2$$

Leggðu 25 saman við -2.

$$3n=23$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$n=\frac{23}{3}$$

Skiptu \frac{23}{3} út fyrir n í m-2n=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m-2\times \frac{23}{3}=2$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{23}{3}.

$$m-\frac{46}{3}=2$$

Leggðu \frac{46}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$m=\frac{52}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=\frac{52}{3},n=\frac{23}{3}$$