Leysa {l}{m+n=1}{2n-3m=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { m + n = 1 } \\ { 2 n - 3 m = - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, n

$$m=\frac{4}{5}=0.8$$

$$n=\frac{1}{5}=0.2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$m+n=1$$

Dragðu n frá báðum hliðum jöfnunar.

$$m=-n+1$$

Settu -n+1 inn fyrir m í hinni jöfnunni, -3m+2n=-2.

$$-3\left(-n+1\right)+2n=-2$$

Margfaldaðu -3 sinnum -n+1.

$$3n-3+2n=-2$$

Leggðu 3n saman við 2n.

$$5n-3=-2$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5n=1$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$n=\frac{1}{5}$$

Skiptu \frac{1}{5} út fyrir n í m=-n+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=-\frac{1}{5}+1$$

Leggðu 1 saman við -\frac{1}{5}.

$$m=\frac{4}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\left(-2\right)\\\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og n.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$m+n=1,-3m+2n=-2$$

Til að gera m og -3m jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-3m-3n=-3,-3m+2n=-2$$

Dragðu -3m+2n=-2 frá -3m-3n=-3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-3m+3m-3n-2n=-3+2$$

Leggðu -3m saman við 3m. Liðirnir -3m og 3m núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3n-2n=-3+2$$

Leggðu -3n saman við -2n.

$$-5n=-3+2$$

Leggðu -3 saman við 2.

$$-5n=-1$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$n=\frac{1}{5}$$

Skiptu \frac{1}{5} út fyrir n í -3m+2n=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$-3m+2\times \frac{1}{5}=-2$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{1}{5}.

$$-3m+\frac{2}{5}=-2$$

Dragðu \frac{2}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3m=-\frac{12}{5}$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$m=\frac{4}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=\frac{4}{5},n=\frac{1}{5}$$