Leysa {l}{m+5n=15}{2/5m-n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { m + 5 n = 15 } \\ { \frac { 2 } { 5 } m - n = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, n

$$m=10$$

$$n=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$m+5n=15,\frac{2}{5}m-n=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$m+5n=15$$

Dragðu 5n frá báðum hliðum jöfnunar.

$$m=-5n+15$$

Settu -5n+15 inn fyrir m í hinni jöfnunni, \frac{2}{5}m-n=3.

$$\frac{2}{5}\left(-5n+15\right)-n=3$$

Margfaldaðu \frac{2}{5} sinnum -5n+15.

$$-2n+6-n=3$$

Leggðu -2n saman við -n.

$$-3n+6=3$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3n=-3$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$n=1$$

Skiptu 1 út fyrir n í m=-5n+15. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=-5+15$$

Leggðu 15 saman við -5.

$$m=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=10,n=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$m+5n=15,\frac{2}{5}m-n=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\\frac{2}{5}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5\times \frac{2}{5}}&-\frac{5}{-1-5\times \frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-1-5\times \frac{2}{5}}&\frac{1}{-1-5\times \frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15+\frac{5}{3}\times 3\\\frac{2}{15}\times 15-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og n.

$$m=10,n=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$m+5n=15,\frac{2}{5}m-n=3$$

Til að gera m og \frac{2m}{5} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með \frac{2}{5} og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$\frac{2}{5}m+\frac{2}{5}\times 5n=\frac{2}{5}\times 15,\frac{2}{5}m-n=3$$

Einfaldaðu.

$$\frac{2}{5}m+2n=6,\frac{2}{5}m-n=3$$

Dragðu \frac{2}{5}m-n=3 frá \frac{2}{5}m+2n=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\frac{2}{5}m-\frac{2}{5}m+2n+n=6-3$$

Leggðu \frac{2m}{5} saman við -\frac{2m}{5}. Liðirnir \frac{2m}{5} og -\frac{2m}{5} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2n+n=6-3$$

Leggðu 2n saman við n.

$$3n=6-3$$

Leggðu 6 saman við -3.

$$3n=3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$n=1$$

Skiptu 1 út fyrir n í \frac{2}{5}m-n=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$\frac{2}{5}m-1=3$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{2}{5}m=4$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{2}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$m=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=10,n=1$$