Leysa {l}{b*12x-15y=-4}{16x+10y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { b \cdot 12 x - 15 y = - 4 } \\ { 16 x + 10 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

$$b\neq -2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$12bx-15y=-4$$

Leggðu 15y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$12bx=15y-4$$

Deildu báðum hliðum með 12b.

$$x=\frac{1}{12b}\left(15y-4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{12b} sinnum 15y-4.

$$x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}$$

Settu \frac{-4+15y}{12b} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 16x+10y=7.

$$16\left(\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}\right)+10y=7$$

Margfaldaðu 16 sinnum \frac{-4+15y}{12b}.

$$\frac{20}{b}y-\frac{16}{3b}+10y=7$$

Leggðu \frac{20y}{b} saman við 10y.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y-\frac{16}{3b}=7$$

Leggðu \frac{16}{3b} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y=7+\frac{16}{3b}$$

Deildu báðum hliðum með \frac{20}{b}+10.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Skiptu \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} út fyrir y í x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{4b}\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

Margfaldaðu \frac{5}{4b} sinnum \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$x=\frac{21b+16}{24b\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

Leggðu -\frac{1}{3b} saman við \frac{16+21b}{24b\left(2+b\right)}.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&-\frac{-15}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\\-\frac{16}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&\frac{12b}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}&\frac{1}{8\left(b+2\right)}\\-\frac{2}{15\left(b+2\right)}&\frac{b}{10\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}\left(-4\right)+\frac{1}{8\left(b+2\right)}\times 7\\\left(-\frac{2}{15\left(b+2\right)}\right)\left(-4\right)+\frac{b}{10\left(b+2\right)}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{24\left(b+2\right)}\\\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Til að gera 12bx og 16x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 16 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 12b.

$$16\times 12bx+16\left(-15\right)y=16\left(-4\right),12b\times 16x+12b\times 10y=12b\times 7$$

Einfaldaðu.

$$192bx-240y=-64,192bx+120by=84b$$

Dragðu 192bx+120by=84b frá 192bx-240y=-64 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$192bx+\left(-192b\right)x-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

Leggðu 192bx saman við -192bx. Liðirnir 192bx og -192bx núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

Leggðu -240y saman við -120by.

$$\left(-120b-240\right)y=-64-84b$$

Leggðu -64 saman við -84b.

$$\left(-120b-240\right)y=-84b-64$$

Deildu báðum hliðum með -240-120b.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Skiptu \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} út fyrir y í 16x+10y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$16x+10\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}=7$$

Margfaldaðu 10 sinnum \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)}.

$$16x+\frac{21b+16}{3\left(b+2\right)}=7$$

Dragðu \frac{16+21b}{3\left(2+b\right)} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$16x=\frac{26}{3\left(b+2\right)}$$

Deildu báðum hliðum með 16.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$