Leysa {l}{a-3b=2}{3a-b=6}

$$\left. \begin{array} { l } { a - 3 b = 2 } \\ { 3 a - b = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=2$$

$$b=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$a-3b=2,3a-b=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$a-3b=2$$

Leggðu 3b saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$a=3b+2$$

Settu 3b+2 inn fyrir a í hinni jöfnunni, 3a-b=6.

$$3\left(3b+2\right)-b=6$$

Margfaldaðu 3 sinnum 3b+2.

$$9b+6-b=6$$

Leggðu 9b saman við -b.

$$8b+6=6$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$8b=0$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$b=0$$

Skiptu 0 út fyrir b í a=3b+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=2,b=0$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$a-3b=2,3a-b=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-3\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{-1-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 2+\frac{3}{8}\times 6\\-\frac{3}{8}\times 2+\frac{1}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=2,b=0$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$a-3b=2,3a-b=6$$

Til að gera a og 3a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$3a+3\left(-3\right)b=3\times 2,3a-b=6$$

Einfaldaðu.

$$3a-9b=6,3a-b=6$$

Dragðu 3a-b=6 frá 3a-9b=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3a-3a-9b+b=6-6$$

Leggðu 3a saman við -3a. Liðirnir 3a og -3a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-9b+b=6-6$$

Leggðu -9b saman við b.

$$-8b=6-6$$

Leggðu 6 saman við -6.

$$-8b=0$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$b=0$$

Skiptu 0 út fyrir b í 3a-b=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$3a=6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$a=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=2,b=0$$