Leysa {l}{Cx+y=69}{2x+y=87}

$$\left. \begin{array} { l } { C x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29C\right)}{C-2}$$

$$C\neq 2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$Cx+y=69$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$Cx=-y+69$$

Deildu báðum hliðum með C.

$$x=\frac{1}{C}\left(-y+69\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{C} sinnum -y+69.

$$x=\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C}$$

Settu \frac{69-y}{C} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=87.

$$2\left(\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C}\right)+y=87$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{69-y}{C}.

$$\left(-\frac{2}{C}\right)y+\frac{138}{C}+y=87$$

Leggðu -\frac{2y}{C} saman við y.

$$\frac{C-2}{C}y+\frac{138}{C}=87$$

Dragðu \frac{138}{C} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{C-2}{C}y=87-\frac{138}{C}$$

Deildu báðum hliðum með \frac{-2+C}{C}.

$$y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

Skiptu \frac{3\left(-46+29C\right)}{-2+C} út fyrir y í x=\left(-\frac{1}{C}\right)y+\frac{69}{C}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\left(-\frac{1}{C}\right)\times \frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}+\frac{69}{C}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{C} sinnum \frac{3\left(-46+29C\right)}{-2+C}.

$$x=-\frac{3\left(29C-46\right)}{C\left(C-2\right)}+\frac{69}{C}$$

Leggðu \frac{69}{C} saman við -\frac{3\left(-46+29C\right)}{C\left(-2+C\right)}.

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}C&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{C-2}&-\frac{1}{C-2}\\-\frac{2}{C-2}&\frac{C}{C-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{C-2}\times 69+\left(-\frac{1}{C-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{C-2}\right)\times 69+\frac{C}{C-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{C-2}\\\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$Cx+y=69,2x+y=87$$

Dragðu 2x+y=87 frá Cx+y=69 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$Cx-2x+y-y=69-87$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$Cx-2x=69-87$$

Leggðu Cx saman við -2x.

$$\left(C-2\right)x=69-87$$

Leggðu 69 saman við -87.

$$\left(C-2\right)x=-18$$

Deildu báðum hliðum með C-2.

$$x=-\frac{18}{C-2}$$

Skiptu -\frac{18}{C-2} út fyrir x í 2x+y=87. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2\left(-\frac{18}{C-2}\right)+y=87$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{18}{C-2}.

$$-\frac{36}{C-2}+y=87$$

Leggðu \frac{36}{C-2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{18}{C-2},y=\frac{3\left(29C-46\right)}{C-2}$$