Leysa {l}{9x-4y=7}{x-4y=-17}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 7 } \\ { x - 4 y = - 17 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$9x-4y=7$$

Leggðu 4y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$9x=4y+7$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum 4y+7.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}$$

Settu \frac{4y+7}{9} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-4y=-17.

$$\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}-4y=-17$$

Leggðu \frac{4y}{9} saman við -4y.

$$-\frac{32}{9}y+\frac{7}{9}=-17$$

Dragðu \frac{7}{9} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{32}{9}y=-\frac{160}{9}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{32}{9}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=\frac{4}{9}y+\frac{7}{9}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{4}{9}\times 5+\frac{7}{9}$$

Margfaldaðu \frac{4}{9} sinnum 5.

$$x=\frac{20+7}{9}$$

Leggðu \frac{7}{9} saman við \frac{20}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}&\frac{9}{9\left(-4\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{32}&-\frac{9}{32}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7-\frac{1}{8}\left(-17\right)\\\frac{1}{32}\times 7-\frac{9}{32}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9x-4y=7,x-4y=-17$$

Dragðu x-4y=-17 frá 9x-4y=7 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$9x-x-4y+4y=7+17$$

Leggðu -4y saman við 4y. Liðirnir -4y og 4y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9x-x=7+17$$

Leggðu 9x saman við -x.

$$8x=7+17$$

Leggðu 7 saman við 17.

$$8x=24$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=3$$

Skiptu 3 út fyrir x í x-4y=-17. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$3-4y=-17$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4y=-20$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=5$$