Leysa {l}{9x-3y-13=0}{2x+y-4=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y - 13 = 0 } \\ { 2 x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$9x-3y-13=0$$

Leggðu 13 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$9x-3y=13$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$9x=3y+13$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+13\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum 3y+13.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}$$

Settu \frac{y}{3}+\frac{13}{9} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y-4=0.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}\right)+y-4=0$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{y}{3}+\frac{13}{9}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{26}{9}+y-4=0$$

Leggðu \frac{2y}{3} saman við y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{26}{9}-4=0$$

Leggðu \frac{26}{9} saman við -4.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{9}=0$$

Leggðu \frac{10}{9} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{9}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{2}{3}$$

Skiptu \frac{2}{3} út fyrir y í x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{13}{9}$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum \frac{2}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{2+13}{9}$$

Leggðu \frac{13}{9} saman við \frac{2}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{5}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{9-\left(-3\times 2\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{15}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 13+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{15}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Til að gera 9x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 9.

$$2\times 9x+2\left(-3\right)y+2\left(-13\right)=0,9\times 2x+9y+9\left(-4\right)=0$$

Einfaldaðu.

$$18x-6y-26=0,18x+9y-36=0$$

Dragðu 18x+9y-36=0 frá 18x-6y-26=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$18x-18x-6y-9y-26+36=0$$

Leggðu 18x saman við -18x. Liðirnir 18x og -18x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y-9y-26+36=0$$

Leggðu -6y saman við -9y.

$$-15y-26+36=0$$

Leggðu -26 saman við 36.

$$-15y+10=0$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-15y=-10$$

Deildu báðum hliðum með -15.

$$y=\frac{2}{3}$$

Skiptu \frac{2}{3} út fyrir y í 2x+y-4=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+\frac{2}{3}-4=0$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við -4.

$$2x-\frac{10}{3}=0$$

Leggðu \frac{10}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=\frac{10}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$