Leysa {l}{9x+y=88}{7x-8y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + y = 88 } \\ { 7 x - 8 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=9$$

$$y=7$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$9x+y=88$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x=-y+88$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+88\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum -y+88.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}$$

Settu \frac{-y+88}{9} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x-8y=7.

$$7\left(-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}\right)-8y=7$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{-y+88}{9}.

$$-\frac{7}{9}y+\frac{616}{9}-8y=7$$

Leggðu -\frac{7y}{9} saman við -8y.

$$-\frac{79}{9}y+\frac{616}{9}=7$$

Dragðu \frac{616}{9} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{79}{9}y=-\frac{553}{9}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{79}{9}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{9}\times 7+\frac{88}{9}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{9} sinnum 7.

$$x=\frac{-7+88}{9}$$

Leggðu \frac{88}{9} saman við -\frac{7}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-7}&-\frac{1}{9\left(-8\right)-7}\\-\frac{7}{9\left(-8\right)-7}&\frac{9}{9\left(-8\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}&\frac{1}{79}\\\frac{7}{79}&-\frac{9}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}\times 88+\frac{1}{79}\times 7\\\frac{7}{79}\times 88-\frac{9}{79}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=9,y=7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

Til að gera 9x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 9.

$$7\times 9x+7y=7\times 88,9\times 7x+9\left(-8\right)y=9\times 7$$

Einfaldaðu.

$$63x+7y=616,63x-72y=63$$

Dragðu 63x-72y=63 frá 63x+7y=616 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$63x-63x+7y+72y=616-63$$

Leggðu 63x saman við -63x. Liðirnir 63x og -63x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$7y+72y=616-63$$

Leggðu 7y saman við 72y.

$$79y=616-63$$

Leggðu 616 saman við -63.

$$79y=553$$

Deildu báðum hliðum með 79.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í 7x-8y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x-8\times 7=7$$

Margfaldaðu -8 sinnum 7.

$$7x-56=7$$

Leggðu 56 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=63$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=7$$