Leysa {l}{9x+y=10}{10x+y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + y = 10 } \\ { 10 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=19$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9x+y=10,10x+y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$9x+y=10$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x=-y+10$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum -y+10.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{10}{9}$$

Settu \frac{-y+10}{9} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 10x+y=9.

$$10\left(-\frac{1}{9}y+\frac{10}{9}\right)+y=9$$

Margfaldaðu 10 sinnum \frac{-y+10}{9}.

$$-\frac{10}{9}y+\frac{100}{9}+y=9$$

Leggðu -\frac{10y}{9} saman við y.

$$-\frac{1}{9}y+\frac{100}{9}=9$$

Dragðu \frac{100}{9} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{9}y=-\frac{19}{9}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -9.

$$y=19$$

Skiptu 19 út fyrir y í x=-\frac{1}{9}y+\frac{10}{9}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{9}\times 19+\frac{10}{9}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{9} sinnum 19.

$$x=\frac{-19+10}{9}$$

Leggðu \frac{10}{9} saman við -\frac{19}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=19$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9x+y=10,10x+y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&1\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&1\\10&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\10&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\10&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-10}&-\frac{1}{9-10}\\-\frac{10}{9-10}&\frac{9}{9-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\10&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10+9\\10\times 10-9\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\19\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=19$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9x+y=10,10x+y=9$$

Dragðu 10x+y=9 frá 9x+y=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$9x-10x+y-y=10-9$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9x-10x=10-9$$

Leggðu 9x saman við -10x.

$$-x=10-9$$

Leggðu 10 saman við -9.

$$-x=1$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-1$$

Skiptu -1 út fyrir x í 10x+y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$10\left(-1\right)+y=9$$

Margfaldaðu 10 sinnum -1.

$$-10+y=9$$

Leggðu 10 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=19$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=19$$