Leysa {l}{9x+7y=6}{8x+3y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 7 y = 6 } \\ { 8 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{45}{29} = 1\frac{16}{29} \approx 1.551724138$$

$$y = -\frac{33}{29} = -1\frac{4}{29} \approx -1.137931034$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$9x+7y=6$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x=-7y+6$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-7y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum -7y+6.

$$x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}$$

Settu -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 8x+3y=9.

$$8\left(-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}\right)+3y=9$$

Margfaldaðu 8 sinnum -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3}.

$$-\frac{56}{9}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

Leggðu -\frac{56y}{9} saman við 3y.

$$-\frac{29}{9}y+\frac{16}{3}=9$$

Dragðu \frac{16}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{29}{9}y=\frac{11}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{29}{9}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{33}{29}$$

Skiptu -\frac{33}{29} út fyrir y í x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-\frac{33}{29}\right)+\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{7}{9} sinnum -\frac{33}{29} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{77}{87}+\frac{2}{3}$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við \frac{77}{87} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{45}{29}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-7\times 8}&-\frac{7}{9\times 3-7\times 8}\\-\frac{8}{9\times 3-7\times 8}&\frac{9}{9\times 3-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\\frac{8}{29}&-\frac{9}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}\times 6+\frac{7}{29}\times 9\\\frac{8}{29}\times 6-\frac{9}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{29}\\-\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Til að gera 9x og 8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 9.

$$8\times 9x+8\times 7y=8\times 6,9\times 8x+9\times 3y=9\times 9$$

Einfaldaðu.

$$72x+56y=48,72x+27y=81$$

Dragðu 72x+27y=81 frá 72x+56y=48 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$72x-72x+56y-27y=48-81$$

Leggðu 72x saman við -72x. Liðirnir 72x og -72x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$56y-27y=48-81$$

Leggðu 56y saman við -27y.

$$29y=48-81$$

Leggðu 48 saman við -81.

$$29y=-33$$

Deildu báðum hliðum með 29.

$$y=-\frac{33}{29}$$

Skiptu -\frac{33}{29} út fyrir y í 8x+3y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$8x+3\left(-\frac{33}{29}\right)=9$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{33}{29}.

$$8x-\frac{99}{29}=9$$

Leggðu \frac{99}{29} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8x=\frac{360}{29}$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=\frac{45}{29}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$