Leysa {l}{9x+13y=9}{2x+y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 13 y = 9 } \\ { 2 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{134}{17} = 7\frac{15}{17} \approx 7.882352941$$

$$y = -\frac{81}{17} = -4\frac{13}{17} \approx -4.764705882$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$9x+13y=9$$

Dragðu 13y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x=-13y+9$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-13y+9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum -13y+9.

$$x=-\frac{13}{9}y+1$$

Settu -\frac{13y}{9}+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=11.

$$2\left(-\frac{13}{9}y+1\right)+y=11$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{13y}{9}+1.

$$-\frac{26}{9}y+2+y=11$$

Leggðu -\frac{26y}{9} saman við y.

$$-\frac{17}{9}y+2=11$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{17}{9}y=9$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{17}{9}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{81}{17}$$

Skiptu -\frac{81}{17} út fyrir y í x=-\frac{13}{9}y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{13}{9}\left(-\frac{81}{17}\right)+1$$

Margfaldaðu -\frac{13}{9} sinnum -\frac{81}{17} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{117}{17}+1$$

Leggðu 1 saman við \frac{117}{17}.

$$x=\frac{134}{17}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-13\times 2}&-\frac{13}{9-13\times 2}\\-\frac{2}{9-13\times 2}&\frac{9}{9-13\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}&\frac{13}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{9}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}\times 9+\frac{13}{17}\times 11\\\frac{2}{17}\times 9-\frac{9}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{17}\\-\frac{81}{17}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Til að gera 9x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 9.

$$2\times 9x+2\times 13y=2\times 9,9\times 2x+9y=9\times 11$$

Einfaldaðu.

$$18x+26y=18,18x+9y=99$$

Dragðu 18x+9y=99 frá 18x+26y=18 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$18x-18x+26y-9y=18-99$$

Leggðu 18x saman við -18x. Liðirnir 18x og -18x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$26y-9y=18-99$$

Leggðu 26y saman við -9y.

$$17y=18-99$$

Leggðu 18 saman við -99.

$$17y=-81$$

Deildu báðum hliðum með 17.

$$y=-\frac{81}{17}$$

Skiptu -\frac{81}{17} út fyrir y í 2x+y=11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-\frac{81}{17}=11$$

Leggðu \frac{81}{17} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=\frac{268}{17}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{134}{17}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$