Leysa {l}{9x+10y=14}{7x+5y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 10 y = 14 } \\ { 7 x + 5 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-4$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9x+10y=14,7x+5y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$9x+10y=14$$

Dragðu 10y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x=-10y+14$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-10y+14\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum -10y+14.

$$x=-\frac{10}{9}y+\frac{14}{9}$$

Settu \frac{-10y+14}{9} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x+5y=-3.

$$7\left(-\frac{10}{9}y+\frac{14}{9}\right)+5y=-3$$

Margfaldaðu 7 sinnum \frac{-10y+14}{9}.

$$-\frac{70}{9}y+\frac{98}{9}+5y=-3$$

Leggðu -\frac{70y}{9} saman við 5y.

$$-\frac{25}{9}y+\frac{98}{9}=-3$$

Dragðu \frac{98}{9} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{25}{9}y=-\frac{125}{9}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{25}{9}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=-\frac{10}{9}y+\frac{14}{9}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{10}{9}\times 5+\frac{14}{9}$$

Margfaldaðu -\frac{10}{9} sinnum 5.

$$x=\frac{-50+14}{9}$$

Leggðu \frac{14}{9} saman við -\frac{50}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9x+10y=14,7x+5y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&10\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&10\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&10\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&10\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&10\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&10\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&10\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9\times 5-10\times 7}&-\frac{10}{9\times 5-10\times 7}\\-\frac{7}{9\times 5-10\times 7}&\frac{9}{9\times 5-10\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{7}{25}&-\frac{9}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 14+\frac{2}{5}\left(-3\right)\\\frac{7}{25}\times 14-\frac{9}{25}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-4,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9x+10y=14,7x+5y=-3$$

Til að gera 9x og 7x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 9.

$$7\times 9x+7\times 10y=7\times 14,9\times 7x+9\times 5y=9\left(-3\right)$$

Einfaldaðu.

$$63x+70y=98,63x+45y=-27$$

Dragðu 63x+45y=-27 frá 63x+70y=98 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$63x-63x+70y-45y=98+27$$

Leggðu 63x saman við -63x. Liðirnir 63x og -63x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$70y-45y=98+27$$

Leggðu 70y saman við -45y.

$$25y=98+27$$

Leggðu 98 saman við 27.

$$25y=125$$

Deildu báðum hliðum með 25.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í 7x+5y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$7x+5\times 5=-3$$

Margfaldaðu 5 sinnum 5.

$$7x+25=-3$$

Dragðu 25 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-28$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=5$$