Leysa {l}{9v+2w=7}{3v-8w=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 v + 2 w = 7 } \\ { 3 v - 8 w = - 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir v, w

$$v=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$w=\frac{1}{2}=0.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu v með því að einangra v vinstra megin við samasemmerkið.

$$9v+2w=7$$

Dragðu 2w frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9v=-2w+7$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$v=\frac{1}{9}\left(-2w+7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum -2w+7.

$$v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}$$

Settu \frac{-2w+7}{9} inn fyrir v í hinni jöfnunni, 3v-8w=-2.

$$3\left(-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}\right)-8w=-2$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-2w+7}{9}.

$$-\frac{2}{3}w+\frac{7}{3}-8w=-2$$

Leggðu -\frac{2w}{3} saman við -8w.

$$-\frac{26}{3}w+\frac{7}{3}=-2$$

Dragðu \frac{7}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{26}{3}w=-\frac{13}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{26}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$w=\frac{1}{2}$$

Skiptu \frac{1}{2} út fyrir w í v=-\frac{2}{9}w+\frac{7}{9}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst v strax.

$$v=-\frac{2}{9}\times \frac{1}{2}+\frac{7}{9}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{9} sinnum \frac{1}{2} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$v=\frac{-1+7}{9}$$

Leggðu \frac{7}{9} saman við -\frac{1}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$v=\frac{2}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-2\times 3}&-\frac{2}{9\left(-8\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{9\left(-8\right)-2\times 3}&\frac{9}{9\left(-8\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&\frac{1}{39}\\\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 7+\frac{1}{39}\left(-2\right)\\\frac{1}{26}\times 7-\frac{3}{26}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}v\\w\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna v og w.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9v+2w=7,3v-8w=-2$$

Til að gera 9v og 3v jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 9.

$$3\times 9v+3\times 2w=3\times 7,9\times 3v+9\left(-8\right)w=9\left(-2\right)$$

Einfaldaðu.

$$27v+6w=21,27v-72w=-18$$

Dragðu 27v-72w=-18 frá 27v+6w=21 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$27v-27v+6w+72w=21+18$$

Leggðu 27v saman við -27v. Liðirnir 27v og -27v núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6w+72w=21+18$$

Leggðu 6w saman við 72w.

$$78w=21+18$$

Leggðu 21 saman við 18.

$$78w=39$$

Deildu báðum hliðum með 78.

$$w=\frac{1}{2}$$

Skiptu \frac{1}{2} út fyrir w í 3v-8w=-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst v strax.

$$3v-8\times \frac{1}{2}=-2$$

Margfaldaðu -8 sinnum \frac{1}{2}.

$$3v-4=-2$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3v=2$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$v=\frac{2}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$v=\frac{2}{3},w=\frac{1}{2}$$